Dalam dunia matematika, seringkali kita menemui situasi di mana solusi dari sebuah persamaan tidak dapat direpresentasikan oleh bilangan real saja. Salah satu contoh paling mendasar adalah persamaan x² + 1 = 0. Jika kita mencoba menyelesaikannya menggunakan bilangan real, kita akan menemukan bahwa tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan ini, karena kuadrat dari bilangan real manapun selalu non-negatif. Untuk mengatasi keterbatasan ini, konsep bilangan kompleks diperkenalkan.
Bilangan kompleks adalah perluasan dari sistem bilangan real yang memungkinkan kita untuk menangani akar kuadrat dari bilangan negatif. Inti dari bilangan kompleks adalah unit imajiner, yang dilambangkan dengan huruf i. Unit imajiner ini didefinisikan sebagai bilangan yang kuadratnya sama dengan -1, yaitu i² = -1. Dengan kata lain, i adalah akar kuadrat dari -1, atau i = √(-1).
Sebuah bilangan kompleks umumnya ditulis dalam bentuk z = a + bi, di mana:
a adalah bagian real (real part) dari bilangan kompleks, dilambangkan dengan Re(z).b adalah bagian imajiner (imaginary part) dari bilangan kompleks, dilambangkan dengan Im(z).i adalah unit imajiner, dengan i² = -1.
Jika b = 0, maka z = a, yang berarti bilangan kompleks tersebut adalah bilangan real. Jika a = 0 dan b ≠ 0, maka z = bi, yang disebut sebagai bilangan imajiner murni.
Seperti halnya bilangan real, bilangan kompleks juga dapat dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan, dan dibagi. Operasi-operasi ini didefinisikan sedemikian rupa sehingga konsisten dengan sifat-sifat aljabar yang telah kita kenal.
Untuk menjumlahkan dua bilangan kompleks, kita menjumlahkan bagian realnya secara terpisah dan bagian imajinernya secara terpisah. Jika z₁ = a + bi dan z₂ = c + di, maka:
z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i
Pengurangan bilangan kompleks serupa dengan penjumlahan. Kita mengurangkan bagian realnya dan bagian imajinernya secara terpisah. Jika z₁ = a + bi dan z₂ = c + di, maka:
z₁ - z₂ = (a - c) + (b - d)i
Perkalian bilangan kompleks dilakukan dengan menerapkan hukum distributif, sama seperti perkalian binomial pada aljabar biasa, dengan mengingat bahwa i² = -1. Jika z₁ = a + bi dan z₂ = c + di, maka:
z₁ × z₂ = (a + bi)(c + di)
= ac + adi + bci + bdi²
= ac + (ad + bc)i + bd(-1)
= (ac - bd) + (ad + bc)i
Pembagian bilangan kompleks melibatkan konsep bilangan sekawan (conjugate). Sekawan dari bilangan kompleks z = a + bi adalah z̄ = a - bi. Untuk membagi z₁ dengan z₂, kita mengalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan dari penyebut:
z₁ / z₂ = (a + bi) / (c + di)
= [(a + bi)(c - di)] / [(c + di)(c - di)]
= [ac - adi + bci - bdi²] / [c² - cdi + cdi - d²i²]
= [ac + bd + (bc - ad)i] / [c² + d²]
= (ac + bd) / (c² + d²) + [(bc - ad) / (c² + d²)]i
Salah satu cara yang sangat membantu untuk memvisualisasikan bilangan kompleks adalah dengan menggunakan bidang kompleks (complex plane), yang juga dikenal sebagai bidang Argand. Bidang ini memiliki sumbu horizontal yang merepresentasikan bagian real (sumbu Re) dan sumbu vertikal yang merepresentasikan bagian imajiner (sumbu Im). Setiap bilangan kompleks z = a + bi dapat direpresentasikan sebagai titik (a, b) atau vektor dari titik asal (0, 0) ke titik (a, b) pada bidang ini. Representasi ini memberikan pemahaman intuitif tentang operasi-operasi bilangan kompleks.
Aljabar bilangan kompleks merupakan fondasi penting dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknik, termasuk analisis matematis, teori sinyal, mekanika kuantum, dan teknik elektro. Memahami konsep dasar dan operasi-operasinya membuka pintu untuk eksplorasi lebih lanjut dalam matematika tingkat lanjut.