Sejak zaman kuno, manusia selalu terpesona oleh keteraturan dan pola yang ada di alam semesta, mulai dari spiral cangkang nautilus hingga susunan kelopak bunga. Dalam matematika, pola-pola ini diresmikan melalui konsep barisan (sequences) dan deret (series).
Barisan adalah susunan bilangan yang dibentuk berdasarkan aturan atau pola tertentu. Dua jenis barisan yang paling fundamental, dan menjadi pondasi bagi banyak cabang matematika dan aplikasinya, adalah Barisan Aritmatika dan Barisan Geometri. Meskipun keduanya mengatur bilangan, mekanisme yang digunakan untuk melangkah dari satu suku ke suku berikutnya sangatlah berbeda—satu menggunakan penambahan konstan, sementara yang lain menggunakan perkalian konstan.
Pemahaman mendalam tentang kedua jenis barisan ini sangat krusial. Barisan aritmatika sering kali memodelkan pertumbuhan linier, seperti perhitungan bunga tunggal atau akumulasi utang dengan pembayaran tetap. Sementara itu, barisan geometri, dengan sifat perkaliannya, merupakan kunci untuk memahami pertumbuhan eksponensial yang jauh lebih dramatis, seperti inflasi, pertumbuhan populasi, peluruhan radioaktif, dan perhitungan bunga majemuk. Artikel ini akan mengupas tuntas kedua barisan ini, mulai dari definisi dasar, penurunan rumus, sifat-sifat khusus, hingga aplikasi kompleksnya dalam berbagai disiplin ilmu.
Barisan Aritmatika, sering juga disebut sebagai Barisan Hitung, adalah suatu barisan bilangan di mana selisih antara suku yang berurutan selalu tetap (konstan). Selisih konstan ini disebut beda, dilambangkan dengan $b$ atau $d$ (dari kata difference).
Secara formal, jika $U_n$ adalah suku ke-$n$ dari barisan, maka hubungan antara suku-suku berdekatan didefinisikan sebagai:
Dengan $U_1$ (suku pertama) dilambangkan dengan $a$. Contoh barisan aritmatika adalah: 2, 5, 8, 11, 14, ... (dengan $a=2$ dan $b=3$).
Untuk menemukan suku ke-$n$ dari barisan aritmatika tanpa harus menghitung satu per satu, kita dapat mengembangkan pola dari definisi dasar:
Pola ini menunjukkan bahwa beda ($b$) selalu dikalikan dengan $(n-1)$. Oleh karena itu, rumus umum untuk suku ke-$n$ adalah:
Deret Aritmatika adalah jumlah dari suku-suku dalam barisan aritmatika. Dilambangkan dengan $S_n$. Penemuan rumus ini secara luas dikreditkan kepada matematikawan muda Carl Friedrich Gauss, yang konon menyelesaikannya dengan cepat saat masih sekolah dasar.
Ide kuncinya adalah menjumlahkan barisan dua kali: sekali maju dan sekali mundur. Misalkan $S_n$ adalah jumlah $n$ suku pertama:
$$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \dots + U_{n-2} + U_{n-1} + U_n$$
Menuliskan barisan dalam bentuk $a$ dan $b$, dan membalik urutannya:
$$S_n = a + (a+b) + (a+2b) + \dots + (U_n - 2b) + (U_n - b) + U_n$$
$$S_n = U_n + (U_n - b) + (U_n - 2b) + \dots + (a+2b) + (a+b) + a$$
Jika kedua persamaan ini dijumlahkan (per suku), perhatikan bahwa komponen beda ($b$) saling menghilangkan:
$$2S_n = (a + U_n) + (a + U_n) + (a + U_n) + \dots + (a + U_n)$$
Karena ada $n$ suku, maka:
$$2S_n = n \times (a + U_n)$$
Sehingga, rumus jumlah $n$ suku pertama adalah:
Atau, jika $U_n$ disubstitusikan dengan $a + (n-1)b$:
$$S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b)$$Jika barisan aritmatika memiliki jumlah suku ganjil ($n$ ganjil), maka suku tengah ($U_t$) dapat ditemukan dengan mudah. Suku tengah adalah rata-rata dari suku pertama dan suku terakhir:
Posisi suku tengah ($t$) dihitung sebagai $t = (n+1)/2$.
Seringkali muncul masalah di mana $k$ bilangan disisipkan di antara dua suku yang berurutan dalam barisan aritmatika awal, menghasilkan barisan aritmatika baru. Misalkan $U_p$ dan $U_{p+1}$ adalah dua suku berdekatan dengan beda awal $b_{lama}$. Jika $k$ bilangan disisipkan di antaranya, beda baru ($b_{baru}$) akan menjadi:
Beda $b_{lama}$ mencakup $(k+1)$ interval baru. Oleh karena itu:
Suku ke-$n$ dapat ditemukan menggunakan jumlah suku, karena $U_n$ adalah selisih antara jumlah $n$ suku pertama dan jumlah $n-1$ suku pertama:
Diketahui deret aritmatika memiliki jumlah $n$ suku pertama dirumuskan sebagai $S_n = 3n^2 + 5n$. Tentukan suku pertama ($a$) dan beda ($b$).
Penyelesaian:
Maka, $a = 8$.
Kesimpulan: Suku pertama ($a$) adalah 8 dan beda ($b$) adalah 6. Barisannya adalah 8, 14, 20, 26, ...
Barisan Geometri, atau Barisan Ukur, adalah barisan bilangan di mana perbandingan (rasio) antara suku yang berurutan selalu tetap. Rasio konstan ini dilambangkan dengan $r$. Barisan geometri memodelkan pertumbuhan atau peluruhan eksponensial.
Secara formal, rasio $r$ didefinisikan sebagai:
Sama seperti aritmatika, suku pertama dilambangkan dengan $a$ atau $U_1$. Contoh barisan geometri adalah: 3, 6, 12, 24, 48, ... (dengan $a=3$ dan $r=2$).
Untuk menurunkan rumus suku ke-$n$, kita lihat polanya berdasarkan perkalian rasio ($r$):
Pola ini menunjukkan bahwa rasio ($r$) selalu dipangkatkan dengan $(n-1)$. Oleh karena itu, rumus umum untuk suku ke-$n$ adalah:
Deret Geometri ($S_n$) adalah jumlah dari $n$ suku pertama barisan geometri. Penurunan rumus ini sedikit lebih kompleks daripada aritmatika, melibatkan trik eliminasi dengan perkalian rasio.
Kita definisikan $S_n$:
$$(1) \quad S_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-2} + ar^{n-1}$$Kemudian, kalikan seluruh persamaan (1) dengan rasio $r$:
$$(2) \quad rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^{n-1} + ar^n$$Kurangi persamaan (2) dengan persamaan (1):
$$rS_n - S_n = (ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1} + ar^n) - (a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1})$$Banyak suku yang saling menghilangkan, menyisakan:
$$S_n(r - 1) = ar^n - a$$ $$S_n(r - 1) = a(r^n - 1)$$Sehingga, kita mendapatkan dua bentuk rumus $S_n$, tergantung pada nilai $r$:
Untuk $|r| > 1$ (Divergen atau Pertumbuhan)
$$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$$Untuk $|r| < 1$ (Konvergen atau Peluruhan)
$$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$$Catatan: Jika $r=1$, barisan geometri menjadi barisan konstan (seperti 5, 5, 5, ...), dan $S_n = n \cdot a$. Jika $r=-1$, barisan akan berosilasi (seperti 5, -5, 5, -5, ...).
Salah satu konsep paling menarik dalam barisan geometri adalah jumlah deret tak terhingga. Deret ini hanya memiliki jumlah yang terbatas (konvergen) jika suku-sukunya semakin mengecil mendekati nol. Syarat konvergensi mutlak adalah:
Jika syarat ini terpenuhi, ketika $n$ mendekati tak hingga ($\infty$), suku $r^n$ akan mendekati nol. Menggunakan rumus $S_n$ untuk $|r| < 1$:
$$S_\infty = \lim_{n \to \infty} \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{a(1 - 0)}{1 - r}$$Jika $|r| \ge 1$, deret tersebut dikatakan divergen (tidak memiliki jumlah yang terbatas).
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 meter. Setelah menyentuh tanah, bola memantul kembali dengan ketinggian 3/5 dari ketinggian sebelumnya. Hitunglah total lintasan yang ditempuh bola hingga berhenti.
Penyelesaian:
Meskipun kedua barisan ini terlihat mirip—keduanya adalah pola bilangan teratur—perbedaan fundamental dalam operasinya (penambahan vs. perkalian) memberikan implikasi yang sangat besar terhadap aplikasinya.
Ketika kita memplot suku barisan terhadap indeksnya ($n$), kita bisa melihat hubungan dengan fungsi matematis:
| Karakteristik | Barisan Aritmatika | Barisan Geometri |
|---|---|---|
| Operator Transisi | Penambahan/Pengurangan (Beda, $b$) | Perkalian/Pembagian (Rasio, $r$) |
| Bentuk Pertumbuhan | Linier (Konstan) | Eksponensial (Proporsional) |
| Suku ke-$n$ ($U_n$) | $U_n = a + (n-1)b$ | $U_n = a \cdot r^{n-1}$ |
| Suku Tengah | Rata-rata Penjumlahan (Aritmetik Mean) | Rata-rata Perkalian (Geometrik Mean) |
| Jumlah Tak Hingga | Selalu Divergen (Tidak Terbatas) | Konvergen hanya jika $|r| < 1$ |
Sama halnya dengan aritmatika, kita dapat menyisipkan $k$ bilangan di antara dua suku geometri $U_p$ dan $U_{p+1}$ dengan rasio awal $r_{lama}$. Jika $k$ bilangan disisipkan, akan terbentuk barisan geometri baru dengan rasio $r_{baru}$.
Interval antara $U_p$ dan $U_{p+1}$ kini dibagi menjadi $k+1$ rasio perkalian. Kita tahu bahwa $U_{p+1} = U_p \cdot r_{lama}$. Dalam barisan baru, $U_{p+1}$ adalah suku ke $(k+2)$ setelah $U_p$.
$$U_{p+1} = U_p \cdot (r_{baru})^{k+1}$$ $$r_{lama} = (r_{baru})^{k+1}$$Barisan Harmonik adalah barisan yang tampaknya tidak memiliki beda atau rasio konstan. Namun, barisan harmonik memiliki hubungan terbalik dengan barisan aritmatika. Suatu barisan $U_1, U_2, U_3, \dots$ adalah barisan harmonik jika resiprokalnya ($1/U_1, 1/U_2, 1/U_3, \dots$) membentuk barisan aritmatika.
Contoh: Barisan 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... adalah barisan harmonik, karena resiprokalnya 1, 2, 3, 4, ... membentuk barisan aritmatika dengan beda $b=1$.
Pola barisan tidak hanya ada dalam buku teks matematika, tetapi merupakan kerangka kerja untuk memahami proses dunia nyata, khususnya yang melibatkan perubahan seiring waktu (time series).
Bunga tunggal dihitung hanya dari modal awal (pokok). Akumulasi total uang dari waktu ke waktu mengikuti barisan aritmatika karena jumlah bunga yang ditambahkan setiap periode adalah konstan (beda, $b$).
Jika $M_0$ adalah modal awal, $i$ adalah suku bunga per periode, dan $n$ adalah jumlah periode, maka jumlah uang pada akhir periode ke-$n$ ($M_n$) adalah:
$$M_n = M_0 + n (M_0 \cdot i)$$Dalam konteks barisan aritmatika, $a = M_0$ dan $b = M_0 \cdot i$.
Bunga majemuk adalah konsep yang jauh lebih kuat, di mana bunga yang diperoleh ditambahkan ke modal pokok, dan pada periode berikutnya, bunga dihitung dari total yang baru. Ini adalah contoh klasik dari pertumbuhan eksponensial yang dimodelkan oleh barisan geometri.
Modal pada akhir periode ke-$n$ adalah:
$$M_n = M_0 (1 + i)^n$$Dalam konteks barisan geometri, modal pokok awal mungkin dianggap $U_0$ (jika dimulai dari $n=0$). Jika kita mulai dari periode 1 ($U_1$), maka $U_1 = M_0 (1+i)$ dan rasio $r = (1+i)$. Inilah alasan mengapa investasi jangka panjang dengan bunga majemuk menghasilkan pertumbuhan yang jauh lebih dramatis (efek bola salju).
Nilai aset, seperti mobil atau mesin, cenderung menurun seiring waktu. Jika depresiasi dihitung sebagai persentase tetap dari nilai buku sebelumnya, prosesnya mengikuti barisan geometri dengan rasio $r < 1$. Misalnya, jika nilai aset menurun 10% setiap tahun, maka $r = (1 - 0.10) = 0.90$.
Materi radioaktif meluruh dengan laju eksponensial. Jumlah materi yang tersisa setelah sejumlah periode waktu (biasanya diukur dalam waktu paruh) membentuk barisan geometri. Rasio $r$ di sini kurang dari 1, mencerminkan peluruhan atau penyusutan.
Dalam model biologis ideal (tanpa batasan sumber daya), pertumbuhan populasi bakteri atau spesies tertentu dimodelkan secara eksponensial, sesuai dengan barisan geometri, di mana rasio $r$ lebih besar dari 1.
Barisan aritmatika dan geometri seringkali hanya merupakan langkah awal. Banyak masalah lanjutan memerlukan kombinasi kedua konsep tersebut atau melibatkan deret tingkat tinggi.
Tidak semua barisan memiliki beda konstan pada tingkat pertama. Beberapa barisan, seperti 2, 5, 10, 17, 26, ..., memiliki beda yang juga membentuk barisan aritmatika. Ini disebut Barisan Aritmatika Tingkat Dua.
Rumus suku ke-$n$ untuk barisan tingkat dua melibatkan fungsi kuadratik, $U_n = An^2 + Bn + C$. Koefisien $A, B, C$ dapat dipecahkan menggunakan sistem persamaan linier dari tiga suku pertama dan beda tingkat dua.
Hubungan antara koefisien $A, B, C$ dengan beda tingkat adalah:
Deret Aritmetika-Geometri (DAG) adalah deret di mana setiap suku adalah hasil kali dari suku barisan aritmatika dan suku barisan geometri. Bentuk umumnya adalah:
$$S_n = a\cdot b + (a+d)br + (a+2d)br^2 + \dots + [a+(n-1)d]br^{n-1}$$Menghitung jumlah deret ini memerlukan kombinasi teknik yang digunakan dalam deret aritmatika dan geometri, yaitu perkalian dengan rasio ($r$) dan pengurangan untuk mengeliminasi sebagian besar suku (mirip dengan penurunan rumus $S_n$ geometri), yang menghasilkan deret geometri baru yang lebih mudah dijumlahkan.
Dalam analisis ekonomi dan investasi, konsep nilai sekarang (present value - PV) sangat penting. Ini adalah nilai saat ini dari sejumlah uang yang akan diterima di masa depan. Jika suku bunga (diskonto) adalah $i$, maka nilai uang yang diterima satu periode di masa depan adalah $U_1 = M / (1+i)$. Nilai uang yang diterima dua periode di masa depan adalah $U_2 = M / (1+i)^2$, dan seterusnya.
Serangkaian pembayaran tetap (anuitas) yang didiskontokan kembali ke waktu sekarang membentuk deret geometri konvergen. Perhitungan anuitas adalah aplikasi langsung dari deret geometri, di mana rasio $r = 1/(1+i)$. Ini menunjukkan bagaimana konsep $S_\infty$ berperan penting dalam valuasi aset yang menghasilkan arus kas tak terhingga.
Misalnya, sebuah obligasi abadi (perpetuity) membayar dividen konstan $D$ setiap tahun, dan tingkat diskonto pasar adalah 5% ($i=0.05$). Nilai obligasi ini adalah jumlah dari nilai sekarang semua pembayaran dividen di masa depan:
$$PV = \frac{D}{1.05} + \frac{D}{(1.05)^2} + \frac{D}{(1.05)^3} + \dots$$Ini adalah deret geometri tak hingga dengan:
$$a = \frac{D}{1.05} \quad \text{dan} \quad r = \frac{1}{1.05}$$Karena $r < 1$, deret ini konvergen. Menggunakan rumus $S_\infty$:
$$PV = S_\infty = \frac{a}{1 - r} = \frac{D/1.05}{1 - 1/1.05}$$ $$PV = \frac{D/1.05}{(1.05 - 1)/1.05} = \frac{D/1.05}{0.05/1.05} = \frac{D}{0.05}$$Rumus PV = $D/i$ adalah aplikasi langsung dan elegan dari deret geometri tak hingga.
Untuk melengkapi pemahaman, penting untuk mencatat bahwa sifat-sifat $S_n$ barisan aritmatika (yang menghasilkan fungsi kuadratik dalam $n$) dan $S_n$ barisan geometri (yang menghasilkan fungsi eksponensial dalam $n$) adalah fundamental dalam analisis diskret. Sifat-sifat ini memungkinkan kita membedakan secara instan jenis pola hanya dengan melihat rumus $S_n$ yang diberikan.
Jika diberikan rumus $S_n$, dan rumus tersebut berbentuk kuadrat tanpa konstanta ($S_n = An^2 + Bn$), maka itu pasti adalah deret aritmatika. Jika rumus $S_n$ berbentuk eksponensial ($S_n = A \cdot r^n + B$), maka itu pasti adalah deret geometri.
Kita telah menetapkan bahwa $S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b)$.
$$S_n = \frac{n}{2} (2a + nb - b)$$ $$S_n = \frac{1}{2} (2an + n^2 b - nb)$$ $$S_n = \left(\frac{b}{2}\right)n^2 + \left(a - \frac{b}{2}\right)n$$Ini adalah persamaan kuadratik dalam $n$ tanpa konstanta bebas. Koefisien $A = b/2$ dan $B = a - b/2$. Ini membuktikan bahwa setiap deret aritmatika selalu menghasilkan kurva kuadratik diskret (parabola) ketika diplot jumlahnya terhadap $n$.
Kita telah menetapkan bahwa $S_n = \frac{a}{r-1} (r^n - 1)$.
$$S_n = \left(\frac{a}{r-1}\right) r^n - \left(\frac{a}{r-1}\right)$$Ini adalah fungsi eksponensial dikurangi konstanta. Jika kita definisikan $A = a/(r-1)$ dan $B = -a/(r-1)$, maka $S_n = A \cdot r^n + B$. Ini membuktikan bahwa setiap deret geometri selalu menghasilkan kurva eksponensial diskret ketika diplot jumlahnya terhadap $n$.
Dalam ilmu komputer, banyak algoritma analisis waktu berjalan (time complexity) didasarkan pada perhitungan deret. Misalnya, menentukan jumlah operasi yang dilakukan dalam suatu perulangan (loop) sederhana yang meningkat secara linier melibatkan deret aritmatika. Sebaliknya, perhitungan pertumbuhan kompleksitas algoritma seperti rekursi biner (binary recursion) sering melibatkan deret geometri, di mana rasio $r$ adalah faktor perpecahan data (misalnya, $r=1/2$).
Contoh klasik adalah "Tower of Hanoi," yang jumlah perpindahannya tumbuh secara eksponensial $2^n - 1$, jelas terkait dengan pertumbuhan geometri.
Barisan aritmatika dan geometri adalah dua pilar utama dalam studi pola bilangan. Aritmatika memegang kendali atas pertumbuhan yang stabil, linier, dan dapat diprediksi, memberikan dasar yang kuat untuk menghitung akumulasi sederhana. Di sisi lain, geometri adalah manifestasi matematika dari pertumbuhan eksponensial, baik yang bersifat eksplosif (jika $r>1$) maupun peluruhan cepat (jika $0 < r < 1$), dan menjadi model esensial dalam fenomena alam dan ekonomi yang dinamis.
Dari perhitungan bunga majemuk yang menentukan kekayaan finansial global hingga pemodelan penyebaran penyakit atau waktu paruh elemen radioaktif, konsep beda dan rasio ini adalah bahasa universal keteraturan matematis. Dengan menguasai penurunan rumus, sifat-sifat khusus, dan aplikasi praktis dari kedua barisan ini, kita mendapatkan alat yang sangat ampuh untuk menganalisis dan memprediksi dunia di sekitar kita secara kuantitatif.