Pecahan aljabar mungkin terdengar menakutkan bagi sebagian orang, namun memahami cara menghitungnya adalah kunci penting dalam berbagai bidang matematika, mulai dari aljabar dasar hingga kalkulus. Pecahan aljabar adalah ekspresi matematika yang melibatkan variabel dalam pembilang (bagian atas) atau penyebut (bagian bawah) pecahan. Keterampilan menghitung pecahan aljabar memungkinkan kita untuk menyederhanakan ekspresi yang kompleks, menyelesaikan persamaan, dan memanipulasi fungsi secara efektif. Artikel ini akan membimbing Anda langkah demi langkah melalui berbagai operasi dasar pada pecahan aljabar, mulai dari penyederhanaan, penjumlahan, pengurangan, perkalian, hingga pembagian.
Sebelum kita melangkah lebih jauh, mari kita pastikan pemahaman kita tentang komponen dasar pecahan aljabar. Sebuah pecahan aljabar umumnya memiliki bentuk P(x) / Q(x), di mana P(x) adalah pembilang (polinomial atau ekspresi aljabar) dan Q(x) adalah penyebut (polinomial atau ekspresi aljabar lainnya). Penting untuk diingat bahwa penyebut tidak boleh bernilai nol, karena pembagian dengan nol tidak terdefinisi. Nilai-nilai variabel yang membuat penyebut menjadi nol disebut sebagai nilai yang "tidak terdefinisi" untuk pecahan tersebut.
Langkah pertama dan paling krusial dalam bekerja dengan pecahan aljabar adalah menyederhanakannya. Proses ini melibatkan pencarian faktor persekutuan terbesar (FPB) dari pembilang dan penyebut, lalu membaginya. Tujuannya adalah untuk mendapatkan bentuk pecahan yang paling ringkas.
Langkah-langkah umum penyederhanaan:
Contoh: Sederhanakan pecahan (x^2 - 4) / (x^2 - 2x)
Solusi:
Faktorkan pembilang: x^2 - 4 adalah selisih kuadrat, sehingga menjadi (x - 2)(x + 2).
Faktorkan penyebut: x^2 - 2x memiliki faktor persekutuan x, sehingga menjadi x(x - 2).
Pecahan menjadi: (x - 2)(x + 2) / x(x - 2).
Batalkan faktor persekutuan (x - 2): (x + 2) / x.
Jadi, bentuk sederhana dari pecahan tersebut adalah (x + 2) / x, dengan syarat x ≠ 0 dan x ≠ 2.
Menjumlahkan atau mengurangi pecahan aljabar memerlukan pemahaman tentang penyebut bersama.
Contoh Penjumlahan (penyebut sama): (3x / 5) + (2x / 5) = (3x + 2x) / 5 = 5x / 5 = x
Contoh Pengurangan (penyebut berbeda): (a / x) - (b / y)
KPK dari x dan y adalah xy.
Ubah pecahan: (a / x) * (y / y) = ay / xy dan (b / y) * (x / x) = bx / xy.
Hasilnya: (ay / xy) - (bx / xy) = (ay - bx) / xy.
Perkalian pecahan aljabar adalah salah satu operasi yang paling mudah. Anda cukup mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut. Jangan lupa untuk menyederhanakan hasilnya jika memungkinkan.
Contoh: (x + 1) / 2 * (x - 1) / 3
Solusi:
Kalikan pembilang: (x + 1)(x - 1) = x^2 - 1
Kalikan penyebut: 2 * 3 = 6
Hasilnya: (x^2 - 1) / 6.
Pembagian pecahan aljabar adalah kebalikan dari perkalian. Untuk membagi sebuah pecahan dengan pecahan lain, Anda perlu mengalikan pecahan pertama dengan kebalikan (reciprocal) dari pecahan kedua. Kebalikan dari sebuah pecahan adalah pecahan tersebut yang dibalik, di mana pembilangnya menjadi penyebut dan penyebutnya menjadi pembilang.
Contoh: (x / y) ÷ (a / b)
Solusi:
Kebalikan dari (a / b) adalah (b / a).
Jadi, (x / y) ÷ (a / b) = (x / y) * (b / a).
Kalikan: (x * b) / (y * a) = xb / ya.
Dengan syarat a ≠ 0 dan b ≠ 0.
Memahami dan menguasai cara menghitung pecahan aljabar adalah fondasi yang kuat untuk studi matematika lebih lanjut. Dengan menerapkan langkah-langkah dan tips yang telah dibahas, Anda akan dapat menghadapi soal-soal pecahan aljabar dengan lebih percaya diri dan akurat. Selamat berlatih!