Pecahan campuran aljabar adalah konsep penting dalam matematika yang menggabungkan bilangan bulat, variabel, dan operasi dasar aljabar dalam format pecahan. Memahami cara bekerja dengan pecahan campuran aljabar sangat krusial untuk memecahkan berbagai masalah aljabar yang lebih kompleks. Artikel ini akan memandu Anda melalui seluk-beluk pecahan campuran aljabar, mulai dari definisi dasar hingga operasi lanjutan.
Secara sederhana, pecahan campuran aljabar adalah ekspresi yang terdiri dari bagian bilangan bulat, dan bagian pecahan yang mungkin mengandung variabel. Bentuk umumnya dapat ditulis sebagai:
A + B⁄C
Di mana:
A adalah bilangan bulat atau ekspresi aljabar tunggal.B adalah pembilang (numerator) yang bisa berupa bilangan, variabel, atau ekspresi aljabar.C adalah penyebut (denominator) yang bisa berupa bilangan, variabel, atau ekspresi aljabar, dan C ≠ 0.Berbeda dengan pecahan campuran pada bilangan biasa (misalnya, 1 ½), pecahan campuran aljabar memiliki potensi kompleksitas lebih tinggi karena keberadaan variabel. Konsep ini menjadi jembatan antara aritmatika dasar dan aljabar yang lebih maju.
Langkah pertama dalam menguasai pecahan campuran aljabar adalah mampu mengubahnya menjadi bentuk pecahan biasa (improper fraction). Proses ini melibatkan perkalian bagian bilangan bulat dengan penyebut, kemudian menambahkan hasilnya dengan pembilang. Penyebutnya tetap sama.
Rumusnya adalah:
A + B⁄C = (A * C) + B⁄C
Mari kita lihat contohnya:
Ubah 2 + x⁄3 menjadi pecahan biasa.
A = 2, B = x, C = 3.
Menggunakan rumus: (2 * 3) + x = 6 + x.
Jadi, 2 + x⁄3 = 6 + x⁄3.
Ubah y + 2a⁄b menjadi pecahan biasa.
A = y, B = 2a, C = b.
Menggunakan rumus: (y * b) + 2a = yb + 2a.
Jadi, y + 2a⁄b = yb + 2a⁄b.
Proses sebaliknya juga penting. Jika Anda memiliki pecahan biasa aljabar yang pembilangnya memiliki derajat lebih tinggi atau bisa dibagi oleh penyebutnya, Anda dapat mengubahnya menjadi bentuk campuran. Ini sering kali melibatkan pembagian aljabar.
Misalnya, jika Anda memiliki x² + 3x + 2⁄x + 1, Anda dapat melakukan pembagian polinomial. Dalam kasus ini, x² + 3x + 2 dapat difaktorkan menjadi (x + 1)(x + 2). Sehingga, (x + 1)(x + 2)⁄x + 1 = x + 2. Ini adalah bentuk bilangan bulat saja, yang juga bisa dianggap sebagai bentuk sederhana dari pecahan campuran aljabar di mana bagian pecahannya adalah nol.
Jika hasil pembagiannya memiliki sisa, maka sisa tersebut akan menjadi pembilang dari bagian pecahan.
Ubah 3x + 5⁄x menjadi pecahan campuran.
Kita bisa membagi 3x dengan x, yang menghasilkan 3.
Sisa dari pembagian 5 dibagi x adalah 5.
Jadi, 3x + 5⁄x = 3 + 5⁄x.
Sama seperti pecahan biasa, pecahan campuran aljabar dapat dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan, dan dibagi. Kunci utamanya adalah mengubahnya terlebih dahulu menjadi pecahan biasa aljabar agar lebih mudah dalam melakukan operasi.
Untuk menjumlahkan atau mengurangkan pecahan campuran aljabar:
Hitung: (1 + x⁄2) + (2 + y⁄3)
Ubah ke pecahan biasa: (2 + x)⁄2 + (6 + y)⁄3
Samakan penyebut (KPK dari 2 dan 3 adalah 6): 3(2 + x)⁄6 + 2(6 + y)⁄6
= (6 + 3x) + (12 + 2y)⁄6
= 18 + 3x + 2y⁄6
Ini bisa juga ditulis sebagai pecahan campuran: 3 + 3x + 2y⁄6.
Perkalian pecahan campuran aljabar jauh lebih sederhana:
Hitung: (2 + 1⁄x) * (3 + 2⁄y)
Ubah ke pecahan biasa: (2x + 1)⁄x * (3y + 2)⁄y
Kalikan: (2x + 1)(3y + 2)⁄xy
Luaskan pembilang: 6xy + 4x + 3y + 2⁄xy
Pembagian pecahan campuran aljabar mengikuti aturan yang sama dengan pembagian pecahan biasa:
Hitung: (1 + a⁄b) ÷ (2 - c⁄d)
Ubah ke pecahan biasa: (b + a)⁄b ÷ (2d - c)⁄d
Ubah pembagian menjadi perkalian: (b + a)⁄b * d⁄(2d - c)
Kalikan: d(b + a)⁄b(2d - c)
Luaskan jika perlu: db + da⁄2bd - bc
Pecahan campuran aljabar mungkin terlihat rumit pada awalnya, tetapi dengan memahami definisi, teknik konversi, dan aturan operasi, Anda dapat menaklukkannya. Ingatlah selalu untuk mengubahnya menjadi pecahan biasa aljabar sebelum melakukan penjumlahan, pengurangan, perkalian, atau pembagian. Latihan yang konsisten akan memperkuat pemahaman Anda dan membuat Anda lebih percaya diri dalam menyelesaikan soal-soal aljabar yang melibatkan bentuk ekspresi ini.