Aljabar merupakan salah satu cabang matematika yang sangat fundamental dan luas. Secara umum, aljabar mempelajari tentang simbol-simbol dan aturan-aturan yang digunakan untuk memanipulasi simbol-simbol tersebut. Berbeda dengan aritmetika yang berfokus pada angka-angka spesifik, aljabar menggunakan variabel (biasanya dilambangkan dengan huruf seperti x, y, z) untuk mewakili kuantitas yang tidak diketahui atau dapat bervariasi. Ini memungkinkan kita untuk membuat pernyataan umum tentang hubungan antar kuantitas, memecahkan masalah yang lebih kompleks, dan merumuskan teori matematika yang lebih abstrak.
Di jantung aljabar terletak konsep variabel, yaitu simbol yang dapat mewakili berbagai nilai. Lawan dari variabel adalah konstanta, yaitu nilai yang tetap (misalnya, angka 5, -2, atau π). Gabungan antara variabel, konstanta, dan operasi matematika dasar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian) membentuk sebuah ekspresi aljabar. Contoh ekspresi aljabar adalah 2x + 3, di mana x adalah variabel, 2 dan 3 adalah konstanta, dan + serta perkalian implisit adalah operasinya.
Dalam ekspresi seperti 2x + 3, angka 2 yang mengalikan variabel disebut koefisien, dan 3 disebut suku tetap atau konstanta. Suku-suku dalam ekspresi adalah bagian-bagian yang dipisahkan oleh tanda tambah atau kurang, seperti 2x dan 3.
Ketika dua ekspresi aljabar disamakan menggunakan tanda sama dengan (=), kita mendapatkan sebuah persamaan aljabar. Persamaan ini menyatakan bahwa nilai dari ekspresi di sisi kiri tanda sama dengan sama dengan nilai ekspresi di sisi kanan. Tujuan utama dalam bekerja dengan persamaan aljabar seringkali adalah untuk menemukan nilai variabel yang membuat persamaan tersebut benar. Nilai-nilai ini disebut solusi atau akar dari persamaan.
Contoh persamaan linear sederhana adalah 2x + 3 = 7. Untuk menyelesaikannya, kita perlu mengisolasi variabel x. Langkah-langkahnya meliputi mengurangi 3 dari kedua sisi (2x = 4) dan kemudian membagi kedua sisi dengan 2 (x = 2). Jadi, x=2 adalah solusi dari persamaan ini karena jika kita substitusikan ke dalam persamaan awal, 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7, yang memang benar.
ax + b = c).ax² + bx + c = 0). Persamaan ini biasanya diselesaikan menggunakan faktorisasi, rumus kuadrat, atau melengkapkan kuadrat.Aljabar linear merupakan cabang aljabar yang mempelajari sistem persamaan linear, vektor, ruang vektor, dan transformasi linear. Bidang ini sangat penting dalam sains, teknik, ekonomi, dan ilmu komputer.
Vektor adalah objek matematika yang memiliki besar dan arah. Dalam aljabar linear, vektor dapat direpresentasikan sebagai daftar angka (misalnya, [2, 3] dalam dimensi dua). Ruang vektor adalah kumpulan vektor yang memenuhi aksioma-aksioma tertentu yang memungkinkan operasi seperti penjumlahan vektor dan perkalian skalar.
Matriks adalah susunan persegi panjang dari angka-angka yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks adalah alat yang sangat kuat untuk merepresentasikan dan memanipulasi transformasi linear dan menyelesaikan sistem persamaan linear. Operasi matriks meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan invers matriks.
Fungsi dalam aljabar adalah aturan yang memetakan setiap elemen dari satu himpunan (domain) ke tepat satu elemen dari himpunan lain (kodomain). Fungsi sering direpresentasikan menggunakan notasi seperti f(x), yang dibaca "f dari x". Ini menunjukkan bahwa nilai output dari fungsi f bergantung pada nilai input x. Fungsi adalah konsep sentral yang menghubungkan berbagai bagian aljabar dan matematika lainnya.
Aljabar bukanlah sekadar mata pelajaran akademik; ia adalah alat yang sangat praktis. Aljabar digunakan dalam:
Memahami aljabar memberikan kemampuan untuk memecahkan masalah secara logis, berpikir abstrak, dan menerjemahkan fenomena dunia nyata ke dalam model matematika yang dapat dianalisis dan dipahami. Ini adalah fondasi penting untuk studi matematika lebih lanjut dan berbagai disiplin ilmu lainnya.