Aljabar pecahan bersusun merupakan topik fundamental dalam matematika yang seringkali menimbulkan tantangan bagi para pelajar. Memahami konsep ini dengan baik bukan hanya penting untuk menyelesaikan soal-soal ujian, tetapi juga menjadi dasar untuk materi matematika yang lebih kompleks. Artikel ini akan mengupas tuntas aljabar pecahan bersusun, mulai dari definisi, operasi dasar, hingga contoh-contoh soal yang sering ditemui, dengan fokus pada kemudahan pemahaman untuk tampilan mobile web.
Secara sederhana, aljabar pecahan bersusun melibatkan operasi matematika (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian) terhadap ekspresi aljabar yang berbentuk pecahan. Pecahan dalam konteks ini memiliki pembilang dan penyebut yang bisa berupa konstanta, variabel, atau kombinasi keduanya. Bentuk umum dari pecahan aljabar adalah A/B, di mana A adalah pembilang dan B adalah penyebut, dengan syarat B ≠ 0.
Istilah "bersusun" merujuk pada bagaimana operasi-operasi ini dilakukan, seringkali mirip dengan cara kita melakukan operasi hitung bilangan biasa, tetapi dengan tambahan aturan-aturan yang berkaitan dengan variabel dan eksponen.
Sama seperti pecahan numerik, pecahan aljabar juga dapat dijumlahkan, dikurangi, dikalikan, dan dibagi. Setiap operasi memiliki prosedur khusus:
Untuk menjumlahkan atau mengurangkan dua pecahan aljabar, langkah pertama dan terpenting adalah menemukan penyebut bersama terkecil (KPK) dari penyebut-penyebutnya. Setelah penyebut bersama ditemukan, pembilang dari setiap pecahan disesuaikan agar memiliki penyebut yang sama. Terakhir, pembilang-pembilang tersebut dijumlahkan atau dikurangkan, sementara penyebutnya tetap.
Contoh:
Jika penyebutnya sama, prosesnya menjadi lebih sederhana: (a/b) + (c/b) = (a+c)/b.
Perkalian pecahan aljabar jauh lebih mudah dibandingkan penjumlahan atau pengurangan. Anda cukup mengalikan pembilang dengan pembilang, dan penyebut dengan penyebut. Penting untuk menyederhanakan ekspresi jika memungkinkan setelah perkalian.
Contoh:
Perhatikan bahwa sebelum mengalikan, kita bisa menyederhanakan faktor yang sama pada pembilang dan penyebut dari pecahan yang berbeda untuk mendapatkan hasil yang lebih sederhana.
Membagi pecahan aljabar sama dengan mengalikan pecahan pertama dengan kebalikan (reciprocal) dari pecahan kedua. Kebalikan dari pecahan c/d adalah d/c.
Contoh:
Sama seperti perkalian, penyederhanaan dapat dilakukan setelah operasi perkalian.
Salah satu keterampilan kunci dalam aljabar pecahan bersusun adalah kemampuan menyederhanakan pecahan. Ini dilakukan dengan mencari faktor persekutuan terbesar (FPB) dari pembilang dan penyebut, lalu membagi keduanya dengan FPB tersebut. Proses ini seringkali melibatkan faktorisasi ekspresi aljabar.
Misalnya, untuk menyederhanakan (2x² + 4x) / (x² - 4):
2x(x + 2)(x - 2)(x + 2)[2x(x + 2)] / [(x - 2)(x + 2)](x + 2): 2x / (x - 2)Mari kita lihat beberapa contoh soal yang lebih aplikatif:
Jumlahkan: (3x / (x+1)) + (2 / (x+1))
Karena penyebutnya sudah sama, kita tinggal menjumlahkan pembilangnya:
Kurangkan: (x / (x-2)) - (3 / (x+2))
Penyebut bersama adalah (x-2)(x+2). Sesuaikan pembilang:
Kalikan dan sederhanakan: (x² - 9) / (x + 3) * (5 / (x - 3))
Faktorkan x² - 9 menjadi (x - 3)(x + 3).
Untuk memudahkan pemahaman, cobalah memvisualisasikan pecahan aljabar seperti "bagian dari sesuatu" yang lebih besar, di mana "sesuatu" tersebut bisa berupa variabel atau ekspresi aljabar. Menggambar diagram sederhana atau menggunakan warna berbeda untuk pembilang dan penyebut dapat membantu.
Berikut adalah ilustrasi sederhana untuk pembagian:
Ilustrasi visual aljabar pecahan pembagian.
Aljabar pecahan bersusun adalah keterampilan penting yang membutuhkan pemahaman tentang operasi dasar, penyamaan penyebut, faktorisasi, dan penyederhanaan. Dengan latihan yang konsisten dan penerapan langkah-langkah yang benar, Anda akan mampu menguasai topik ini. Ingatlah untuk selalu memeriksa kembali setiap langkah perhitungan Anda dan menyederhanakan hasil akhir jika memungkinkan.